Luft- und Rollwiderstand

Im Wesentlichen bremsen zwei Kräfte ein Fahrzeug, nämlich der Luft- und der Rollwiderstand. Dieser Artikel erlätert die Zusammenhänge und verdeutlicht, in welchem Aufwand Tuningmaßnahmen zu erfolgen haben, um die Höchstgeschwindigkeit zu steigern.

Der Rollwiderstand berechnet sich folgendermaßen:

F_Roll = C_r × m × g

wobei

C_r ein Rollwiderstandskoeffizient ist, der in unserem Fall ca. 0.015 beträgt,
m die Masse des Fahrzeugs inklusive Insassen darstellt (also ca. 1900 kg für den 8er),
und g die Erdbeschleunigung mit 9.81 m/sec² ist.

Der Rollwiderstand eines 8er BMW beträgt also 0.015 × 1900 kg × 9.81 m/sec² = 280 N

Diese Größe ist, wie man sehen kann, nicht von der gefahrenen Geschwindigkeit abhängig, sondern lediglich vom Fahrzeuggewicht. Somit wird dieser Wert mit steigender Geschwindigkeit mehr und mehr unbedeutend. Trotzdem muß der Motor immer gegen einen Widerstand von 280 N = 28.5 kg ankämpfen, damit der 8er sich bewegt.

Der Luftwiderstand berechnet sich wie folgt:

F_Luft = A/2 × C_w × D × v²

wobei

A die Stirnfläche des Fahrzeuges in m² ist,
C_w den Luftwiderstandsbeiwert darstellt,
D die Dichte der Luft ist, also 1.29 kg/m³, und
v die gefahrene Geschwindigkeit in m/sec.

Hier kommt nun also die Geschwindigkeit mit ins Spiel. Da, wenn man die Gleichung nur auf ein Auto anwendet, viele Werte zu Konstanten werden, werden diese jetzt Zwecks Übersichtlichkeit zusammengefaßt: Der 8er BMW weist eine Stirnfläche von 2.07 m² auf. Diese wird durch den sehr niedrigen C_w-Wert von 0.29 kompensiert, so daß nur 2.07 m² × 0.29 = 0.6 m² an eigentlicher Luftwiderstandsfläche übrigbleiben. Hier kann man sehen, welchen Einfluß der C_w-Wert auf den Luftwiderstand hat. Je kleiner er ist, desto kleiner erscheint der Luft das Auto, um das sie sich herumbewegen muß - der Wagen ist windschnittiger. Der 850CSi weist einen C_w-Wert von 0.31 auf, hat aber eine andere Stirnfläche (die mir nicht bekannt ist - tiefergelegt, andere Außenspiegel).

Die halbe Luftwiderstandsfläche muß nun noch mit der spezifischen Dichte unserer Atmosphäre multipliziert werden. Das ergibt dann (0.6 m² × 1.29 kg/m³) / 2 = 0.387 kg/m.

Die Kraft, die der Luftwiderstand dem 8er entgegensetzt, kann nun durch das eben vorgenommene Zusammenfassen aller für das Auto konstanten Werte errechnet werden: F_Luft = 0.387 kg/m × v². Dadurch, daß die gefahrene Geschwindigkeit quadratisch in die Gleichung mit einfließt, sind bei hohen Geschwindigkeiten extreme Kräfte zu erwarten:

0 km/h: 0 N = 0 kg

50 km/h: 75 N = 8 kg + Rollwiderstand (280 N, 29 kg) = 37 kg

100 km/h: 299 N = 30 kg + Rollwiderstand (280 N, 29 kg) = 59 kg

150 km/h: 672 N = 69 kg + Rollwiderstand (280 N, 29 kg) = 98 kg

200 km/h: 1194 N = 122 kg + Rollwiderstand (280 N, 29 kg) = 151 kg

250 km/h: 1866 N = 190 kg + Rollwiderstand (280 N, 29 kg) = 219 kg

300 km/h: 2688 N = 274 kg + Rollwiderstand (280 N, 29 kg) = 303 kg

350 km/h: 3658 N = 373 kg + Rollwiderstand (280 N, 29 kg) = 402 kg

400 km/h: 4778 N = 488 kg + Rollwiderstand (280 N, 29 kg) = 517 kg

So schön diese Tabelle auch sein mag, richtig weiterbringen tut sie einen nicht. Was fehlt ist nämlich die Leistung in Watt, die benötigt wird, um diese Geschwindigkeiten zu erreichen. Sie errechnet sich folgendermaßen:

P = (F_Roll + F_Luft) × v

= (C_r × m × g + A/2 × C_w × D × v²) × v

= C_r × m × g × v + A/2 × C_w × D × v³

Nach dem Ausmultiplizieren der Klammer sieht man, daß die benötigte Leistung auf einmal mit der dritten Potenz steigt. Das heißt, daß man für die doppelte Geschwindigkeit achtmal soviel Leistung benötigt und für die dreifache gar 27-mal soviel! In Tabellenform sieht das dann so aus:

Geschwindigkeit Gesamtwiderstand Benötigte Leistung

50 km/h 355 N 5 kW = 7 PS

100 km/h 579 N 16 kW = 22 PS

150 km/h 952 N 40 kW = 54 PS

200 km/h 1474 N 82 kW = 111 PS

250 km/h 2146 N 149 kW = 202 PS

300 km/h 2968 N 247 kW = 336 PS

350 km/h 3938 N 383 kW = 520 PS

400 km/h 5058 N 562 kW = 764 PS

Man kann sehen, wie ab 250 km/h die benötigte Lestung in unglaubliche Höhen schnellt. Jetzt wird auch klar, weswegen Bugatti im 16.4 Veyron 1000 PS braucht, um die anvisierten 400 km/h zu knacken. Die obigen Werte gelten aber nur für den 8er BMW bzw. für Fahrzeuge mit identischen aerodynamischen Werten.

So ganz fertig sind wir aber immer noch nicht, denn die errechneten PS-Zahlen müssen nicht am Motor, sondern an den Rädern anliegen! Das bedeutet, daß die Motorleistung noch höher liegen muß, um den Verlust durch Getriebe und Antriebsstrang auszugleichen. Dieser Verlust beträgt bei heckgetriebenen Fahrzeugen ca. 17% (Frontantrieb 15%), so daß man am Ende folgende Werte für die Motorleistung erhält:

Geschwindigkeit Leistung an
den Rädern Motorleistung

50 km/h 7 PS 8 PS

100 km/h 22 PS 25 PS

150 km/h 54 PS 64 PS

200 km/h 111 PS 130 PS

250 km/h 202 PS 237 PS

260 km/h 226 PS 264 PS

270 km/h 250 PS 293 PS

280 km/h 277 PS 324 PS

290 km/h 306 PS 358 PS

300 km/h 336 PS 393 PS

310 km/h 368 PS 431 PS

350 km/h 520 PS 609 PS

400 km/h 764 PS 893 PS

Die Werte für den Verlust im Antriebsstrang sind keine gemessenen Werte, sondern eine Art Schätzwert, die ich bei der Suche nach derartigen Daten im Internet gebildet habe. Er liegt zwar etwas im oberen Bereich, aber angesichts der Motorleistung eines Alpina B12 5.7 Coupés sowie dessen Höchstgeschwindigkeit und eigenen Erfahrungen ist er nicht zu hoch.

Erschwerend kommt jetzt noch hinzu, daß das Getriebe natürlich so abgestimmt sein muß daß die Höchstgeschwindigkeit auch auf dem Leistungsmaximum erreicht wird. Die 380 PS eines serienmäßigen 850CSi bringen einen niemals auf knapp 300 km/h, weil diese bei 5300 U/min und 250 km/h anliegen. Danach fällt die Motorleistung wieder ab, was die mögliche Höchstgeschwindigkeit natürlich herabsetzt. Belässt man es beim serienmäßigen Getriebe, kommt man um ein Motortuning also nicht herum, um die Höchstgeschwindigkeit zu steigern. Womit wir beim nächsten Punkt wären.

Aufgrund des Wachstums des Leistungshungers mit der dritten Potenz der Geschwindigkeit, sind umfangreiche Maßnahmen vonnöten um merkliche Höchstgeschwindigkeitssteigerungen zu erreichen. Um nur zehn Prozent schneller zu sein, ist ein drittel mehr an Motorleistung notwendig (1.1³ = 1.33). Umgekehrt erreicht man durch die beim Chiptuning bei Saugmotoren maximal zu erreichende Leistungssteigerung von knapp unter 10% lediglich eine Anhebung der Höchstgeschwindigkeit von 3% (Kubikwurzel von 1.1). Bei bisher 290 möglichen km/h katapultiert einen das mit 299 km/h zumindest sehr nahe an die 300er Marke heran, schwächere Fahrzeuge aber kommen bei 160 km/h vorher nur auf 165 danach. Fraglich, ob sich das lohnt.

Abschließend noch einmal die allgemeine Formel, mit der die benötigte Motorleistung bei vorgegebener Geschwindigkeit errechnet werden kann:

P_Motor = ((A/2 × C_w × D × v³) + (C_r × m × g × v)) × 1.17

mit

A: Stirnfläche in m²
C_w: Luftwiderstandsbeiwert (0.29 für den 8er, ohne Einheit)
D: Dichte der Luft (1.29 kg/m³)
C_r: Rollwiderstandsbeiwert (ca. 0.015, ohne Einheit)
m: Masse des Fahrzeugs in kg (ca. 1900kg für den 8er)
g: Erdbeschleunigung (9.81 m/sec²)
v: gefahrene Geschwindigkeit in m/sec (= km/h / 3.6)
1.17: Korrekturfaktor, um den Energieverlust im Antriebsstrang auszugleichen (1.15 für Frontantrieb)
P_Motor: Motorleistung in W (736 W = 1 PS)

Wenn man alle für den 8er konstanten Werte einsetzt und zusammenfaßt, bekommt man also:

P_Motor = (0.387 kg/m × v³ + 280 N × v) × 1.17